设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:
(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);
(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.
证明:记g(x)=,h(x)=,则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈R,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x).
令f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,f4(x)=,其中k为任意整数.
则fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈R,fi(x+π)=fi(x),i=1,2,3,4.
下证对任意的x∈R,有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).
当x≠kπ+(k∈Z)时,显然成立;
当x=kπ+(k∈Z)时,因为f1(x)+f2(x)cosx=f1(x)=,
而g(x+π)=g(kπ+)=g(kπ+-2(k+1)π)=g(-kπ-)=g(kπ+)=g(x),故对任意的x∈R,f1(x)+f2(x)cosx=g(x).
下证对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).
当x≠(k∈Z)时,显然成立;
当x=kπ(k∈Z)时,h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ),所以h(x)=h(kπ)=0,而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x;
当x=kπ+(k∈Z)时,h(x+π)=h(kπ+)=h(kπ+-2(k+1)π)=h(-kπ-)=-h(kπ+)=-h(x),
故f3(x)sinx==h(x),
又f4(x)sin2x=0,从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.
于是,对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).
综上所述,结论得证.