问题 解答题

设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:

(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);

(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.

答案

证明:记g(x)=

f(x)+f(-x)
2
h(x)=
f(x)-f(-x)
2
,则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈R,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x).

f1(x)=

g(x)+g(x+π)
2
f2(x)=
g(x)-g(x+π)
2cosx
x≠kπ+
π
2
0x=kπ+
π
2
f3(x)=
h(x)-h(x+π)
2sinx
x≠kπ
0x=kπ
f4(x)=
h(x)+h(x+π)
2sin2x
x≠
2
0x=
2
,其中k为任意整数.

则fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈R,fi(x+π)=fi(x),i=1,2,3,4.

下证对任意的x∈R,有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).

x≠kπ+

π
2
(k∈Z)时,显然成立;

x=kπ+

π
2
(k∈Z)时,因为f1(x)+f2(x)cosx=f1(x)=
g(x)+g(x+π)
2

g(x+π)=g(kπ+

2
)=g(kπ+
2
-2(k+1)π)=g(-kπ-
π
2
)=g(kπ+
π
2
)=g(x),故对任意的x∈R,f1(x)+f2(x)cosx=g(x).

下证对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).

x≠

2
(k∈Z)时,显然成立;

当x=kπ(k∈Z)时,h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ),所以h(x)=h(kπ)=0,而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x;

x=kπ+

π
2
(k∈Z)时,h(x+π)=h(kπ+
2
)=h(kπ+
2
-2(k+1)π)=h(-kπ-
π
2
)=-h(kπ+
π
2
)=-h(x)

f3(x)sinx=

h(x)-h(x+π)
2
=h(x),

又f4(x)sin2x=0,从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.

于是,对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).

综上所述,结论得证.

单项选择题
问答题 论述题