已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．（1）如果对任意x

问题解答题

已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-

[g(a)-27]，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之．

答案

（1）∵f（x）＞a²，∴x²+（a-3）x-3a＞0，

∴（x-3）（x+a）＞0对x∈[1，2]恒成立，

又∵x-3＜0恒成立，∴x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，

∴a＜-x，又-x∈[-2，-1]，

∴a＜-2．

（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，

不妨设a=p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：

①p+q+r=3，qr=a²-3a，

②p²+q²+r²=a²+（q+r）²-2pr=a²+（3-a）²-2（a²-3a）=9，

③p³+q³+r³=a³+（q³+r³）=a³+（q+r）[q²-qr+r²]=3a³-9a²+27．

设g（a）=3a³-9a²+27，求导得：g（a）=9a²-18a=9a（a-2），

当a∈[2，3]时，g（a）＞0，g（a）递增；当a∈[0，2]时，g（a）＜0，g（a）递减；

当a∈[-1，0]时，g（a）＞0，g（a）递增，

∴g（a）在[-1，3]上的最小值为min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15．

（3）由（2）得H(a)=-

(3a3-9a2)，

如果a∈（0，1），则H′(a)=3a-

a2=3a(1-

a)＞0，∴H（a）在（0，1）为递增函数，

易知H（a）∈（0，1），∴a₁∈（0，1）⇒a₂∈（0，1），a_n∈（0，1）⇒a_n+1∈（0，1），

又∵an+1-an=-

an3+

an2-an=-

an(an-2)(an-1)＜0，

∴a_n+1＜a_n．