问题
问答题
已知2维非零向量α不是2阶方阵A的特征向量．
(Ⅰ) 证明：α，Aα线性无关；
(Ⅱ) 若α，A满足A2α+Aα-6α=0，求A的全部特征值，并由此判定A能否与对角矩阵相似．
若能，请写出一个这样的对角矩阵．
答案
参考答案：[证明与求解] (Ⅰ)方法1° 设k1α+k2Aα=0，则必有k2=0(否则，由[*]，可推出α为A的特征向量，这与题设矛盾)。由此有k1α=0．因α≠0，所以k1=0．从而证明了α，Aα线性无关．
方法2° 反证法．若α，Aα线性相关，则或α=k(Aα)，或Aα=tα．若Aα=tα，这与α不是A的特征向量矛盾．若α=k(Aα)，如k=0，则与α≠0矛盾．如k≠0，则[*]，这与α不是A的特征向量矛盾．综上所述α，Aα线性无关．
(Ⅱ)由题设有
0=A2α+Aα-6α=(A2+A-6E)α
=(A+3E)(A-2E)α=(A-2E)(A+3E)α．
由(Ⅰ)α，Aα线性无关可推出(A-2E)α=Aα-2α≠0．
由(A+3E)[(A-2E)α]=0可推出A+3E有一个特征值为0，从而A有一个特征值为-3．
由(A-2E)[(A+3E)α]=0可推出A-2E有一个特征值为0，从而A有一个特征值为2．
这样A有2个相异的特征值，所以A能与对角矩阵[*]相似．