问题
解答题
| 已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求使不等式(1+
（3）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）设{an}的公差为d，由题意d＞0，且
（2分）a1+2d=5 (a1+3d)(2a1+d)=28
a1=1，d=2，数列{an}的通项公式为an=2n-1（4分）
（2）由题意a≤
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)(1+1 a2
)对n∈N*均成立（5分）1 an
记F(n)=
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)(1+1 a2
)1 an
则
=F(n+1) F(n)
=2n+2 (2n+1)(2n+3)
＞2(n+1) 4(n+1)2-1
=12(n+1) 2(n+1)
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），∴F（n）随n增大而增大（8分）
∴F（n）的最小值为F(1)=2 3 3
∴a≤
，即a的最大值为2 3 3
（9分）2 3 3
（3）∵an=2n-1
∴在数列{bn}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5++（2m-1）]+（2+22++2m-1）=m2+2m-2（11分）
∵102+210-2=1122＜2008＜112+211-2=2156，即a10＜2008＜a11（12分）
又a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2++28=521（14分）
且2008-1122=886=443×2，
所以存在正整数m=521+443=964使得Sm=2008（16分）