问题
问答题
设3阶方阵A满足Aα1=0，Aα2=2α1+α2，Aα3=-α1+3α2-α3，其中α1=(1，1，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，0，1)T．
(Ⅰ) 试证矩阵A能与对角矩阵Λ相似，且写出对角矩阵Λ；
(Ⅱ) 求出行列式|A4-2A3-4A2+3A+5E|；
(Ⅲ) 求出矩阵A．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)以α1，α2，α3作为列向量组成一个3阶矩阵P，即P=(α1，α2，α3)，利用题设有
AP=A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(0，2α1+α2，-α1+3α2-α3)
=[*]
记[*]，则上式即为AP=PB．(*)
由[*]知，P为可逆矩阵，在(*)两边左乘P-1可得P-1AP=B，从而A与B相似，于是有
[*]
这表明3阶方阵A有3个相异的特征值0，1，-1，所以A能与对角矩阵[*]相似．
(Ⅱ) 记f(x)=x4-2x3-4x2+3x+5，则
A4-2A3-4A2+3A+5E=f(A)．
由(Ⅰ)知，A的3个特征值0，1，-1，所以f(A)的3个特征值为
f(0)=5，f(1)=1-2-4+3+5=3，
f(-1)=1+2-4-3+5=1．
从而
|f(A)|=f(0)f(1)f(-1)=5×3×1=15．
(Ⅲ)由(Ⅰ)的(*)可得
[*]
[*]