问题
问答题
已知A是n阶方阵，AT是A的转置矩阵，
(Ⅰ) 证明：A和AT有相同的特征值；
(Ⅱ) 举二阶矩阵的例子说明A和AT的特征向量可以不相同；
(Ⅲ) 如果A～Λ，证明AT～Λ．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)因为|λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|，所以A和AT有相同的特征值．
(Ⅱ) 例如，[*]，则A对应于λ=1的特征向量是k1(1，0)T，k1是非0常数；A对应于λ=3的特征向量是k2(1，1)T，k2为非0常数．
而[*]对应于λ=1的特征向量是t1(1，-1)T，t1是非0常数，对应于λ=3的特征向量是t2(0，1)T，t2是非0常数．
(Ⅲ)如A～Λ，则存在可逆矩阵P1使[*]．
那么[*]，即[*]．
令[*]，则[*]．
所以P-1ATP=A，即AT～Λ．