问题
问答题
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α2-α3，Aα2=3α1-2α2+α3，Aα3=3α1+2α2-3α3．
(Ⅰ) 求矩阵A的特征值；
(Ⅱ) 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵；
(Ⅲ) 求矩阵A的矩阵向量．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)[解] (Ⅰ)由已知条件，有
[*]
记[*]，因为α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，可知矩阵P1可逆，且[*]，即矩阵A与B相似，从而A和B有相同的特征值．由得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值：λ1=0，λ2=-1，λ3=-4．
(Ⅱ)对应于λ1=0，解齐次线性方程组(0E-B)x=0得基础解系β1=(4，1，-1)T，
对应于λ2=-1，解齐次线性方程组(-E-B)x=0得基础解系β2=(9，1，-4)T，
对应于λ3=-4，解齐次线性方程组(-4E-B)x=0得基础解系β3=(0，-1，1)T，
那么，令[*]，有[*]
于是[*]
从而[*]
为所求的可逆矩阵．
(Ⅲ)因为P-1PA=A，所以矩阵A属于特征值λ=0的特征向量为k1(4α1+α2-α3)，k1≠0；矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量为k2(9α1+α2-4α3)，k2≠0；矩阵A属于特征值λ=-4的特征向量为k3(-α2+α3)，k3≠0．