（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=-2x+

2

x

=-

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0）

由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．

∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．

∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．

（Ⅱ）∵g（x）=x+

a

x

，∴g′（x）=1-

a

x2

．

（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，

又∵函数f（x）与g（x）=x+

a

x

有相同极值点，

∴x=1是函数g（x）的极值点，

∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．

（ⅱ）∵f（

1

e

）=-

1

e2

-2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，

∵-9+2ln3＜-

1

e2

-2＜=1，即f（3）＜f（

1

e

）＜f（1），

∴x₁∈[[

1

e

，3]时，f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1

由（ⅰ）知g（x）=x+

1

x

，∴g′（x）=1-

1

x2

．

当x∈[

1

e

，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．

故g（x）在[

1

e

，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．

∵g(

1

e

)=e+

1

e

，g（1）=2，g（3）=

10

3

，

而2＜e+

1

e

＜

10

3

，∴g（1）＜g（

1

e

）＜g（3）

∴x₂∈[[

1

e

，3]时，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）=

10

3

①当k-1＞0，即k＞1时，

对于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，等价于k≥[f（x₁）-g（x₂）]_max+1

∵f（x₁）-g（x₂）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，

∴k≥-2，又∵k＞1，∴k＞1．

②当k-1＜0，即k＜1时，

对于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，等价于k≤[f（x₁）-g（x₂）]_min+1

∵f（x₁）-g（x₂）≥f（3）-g（3）=-

37

3

+2ln3，

∴k≤-

34

3

+2ln3．

又∵k＜1，∴k≤-

34

3

+2ln3．

综上，所求的实数k的取值范围为（-∞，-

34

3

+2ln3]∪（1，+∞）．