（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，

由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]

当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）时，

由定义知：k为与x最近的一个整数，故

f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）；

（2）f(

4

3

)=

1

3

，f(-

4

3

)=

1

3

判断f（x）是偶函数．

对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足

k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，f（x）=|x-k|，

由k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，可以得出-k-

1

2

≤-x≤-k+

1

2

，

即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

]，

由（Ⅰ）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），

即f（x）是偶函数．

（3）f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

log_ax=0，

①当x＞1时，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，

∴|x-k|-

1

2

log_ax=0没有大于1的实根；

②容易验证x=1为方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的实根；

③当

1

2

＜x＜1时，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0变为1-x-

1

2

log_ax=0

设H（x）=

1

2

log_ax-（1-x）（

1

2

＜x＜1）

则H′（x）=

1

2xlna

+1＜

1

2xlne- 1 2

+1=-

1

x

+1＜0，

所以当

1

2

＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，

所以方程没有

1

2

＜x＜1的实根；

④当0＜x≤

1

2

时，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0变为x-

1

2

log_ax=0

设G（x）=

1

2

log_ax-x（0＜x≤

1

2

），显然G（x）为减函数，

∴G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，

所以方程没有0＜x≤

1

2

的实根．

综上可知，当e-

1

2

＜a＜1时，方程f(x)-loga

x

=0有且仅有一个实根，实根为1．