已知定义域为R的函数f(x)=
(Ⅰ)求b的值; (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. |
(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即
=0⇒b=1∴f(x)=b-1 a+2 1-2x 2+2x+1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=
=-1-2x 2+2x+1
+1 2
,1 2x+1
设x1<x2则f(x1)-f(x2)=
-1 2x1+1
=1 2x2+1 2x2-2x1 (2x1+1)(2x2+1)
因为函数y=2x在R上是增函数且x1<x2∴f(x1)-f(x2)=
>02x2-2x1 (2x1+1)(2x2+1)
即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数
(III)f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,又因为f(x)是奇函数,
所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
因为f(x)为减函数,由上式可得:t2-2t>k-2t2.
即对一切t∈R有:3t2-2t-k>0,
从而判别式 △=4+12k<0⇒k<-
.1 3
所以k的取值范围是k<-
.1 3