问题 解答题
已知定义域为R的函数f(x)=
-2x+b
2x+1+2
是奇函数.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
答案

(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,

b-1
a+2
=0⇒b=1∴f(x)=
1-2x
2+2x+1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=

1-2x
2+2x+1
=-
1
2
+
1
2x+1

设x1<x2则f(x1)-f(x2)=

1
2x1+1
-
1
2x2+1
=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1) 

因为函数y=2x在R上是增函数且x1<x2∴f(x1)-f(x2)=

2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1) 
>0

即f(x1)>f(x2

∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数

(III)f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,又因为f(x)是奇函数,

所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),

因为f(x)为减函数,由上式可得:t2-2t>k-2t2

即对一切t∈R有:3t2-2t-k>0,

从而判别式 △=4+12k<0⇒k<-

1
3

所以k的取值范围是k<-

1
3

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题