问题 填空题

若一个正方形的四个顶点都在双曲线C上,且其一边经过C的焦点,则双曲线C的离心率是______.

答案

∵正方形的四个顶点都在双曲线C:

x2
a2
-
y2
b2
=1上,其一边经过C的焦点,则有

a2+b2=c2,且(c,c)是双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1上的点,

所以

c2
a2
-
c2
b2
=1

消去b2得c4-3a2•c2+a4=0,

c2
a2
=
5
2
,由于c2>a2

c2
a2
=
3+
5
2
=
6+2
5
4
=(
5
+1
2
)
2

∴离心率e=

c
a
=
5
+1
2

故答案为:

5
+1
2

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