问题 解答题
A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:
(1)对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
(2)存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(Ⅰ)设φ(x)=
31+x
,x∈[1,2],证明:φ(x)∈A;
(Ⅱ)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的.
答案

(Ⅰ)对任意x∈[1,2],φ(2x)=

31+2x

33
≤φ(2x)≤
35
,且1<
33
35
<2,

∴φ(2x)∈(1,2)满足(1)的条件;

对任意的x1,x2∈[1,2],|φ(2x1)-φ(2x2)|

=|x1-x2|•

2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2

∵3<

3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x2)
+
3(1+2x2)2

所以0<

2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
2
3

2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
=L,则0<L<1,

可得|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,满足(2)的条件

所以φ(x)∈A成立.…(8分)

(Ⅱ)反证法:

设存在两个x0x0/∈(1,2)且x0x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),则

由(I)的结论,得|φ(2x0)-φ(2x0/)|≤L|x1-x2|,

得|x0-x0/|≤L|x1-x2|,所以L≥1,与定义0<L<1矛盾,故假设不成立,

可得不存在两个x0x0/∈(1,2)且x0x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),

因此如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的.…(13分)

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