A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：（

问题解答题

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3	1+x

，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．

答案

（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）=

3	1+2x

，

∵

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

，且1＜

3	3

＜

3	5

＜2，

∴φ（2x）∈（1，2）满足（1）的条件；

对任意的x₁，x₂∈[1，2]，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|

=|x₁-x₂|•

3	(1+2x1)2

3	(1+2x1)(1+2x1)

3	(1+2x2)2

，

∵3＜

3	(1+2x1)2

3	(1+2x1)(1+2x2)

3	(1+2x2)2

，

所以0＜

3	(1+2x1)2

3	(1+2x1)(1+2x1)

3	(1+2x2)2

＜

，

令

3	(1+2x1)2

3	(1+2x1)(1+2x1)

3	(1+2x2)2

=L，则0＜L＜1，

可得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，满足（2）的条件

所以φ（x）∈A成立．…（8分）

（Ⅱ）反证法：

设存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），则

由（I）的结论，得|φ（2x₀）-φ（2x0/）|≤L|x₁-x₂|，

得|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1，与定义0＜L＜1矛盾，故假设不成立，

可得不存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），

因此如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．…（13分）