问题
解答题
A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合: (1)对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2); (2)存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|. (Ⅰ)设φ(x)=
(Ⅱ)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的. |
答案
(Ⅰ)对任意x∈[1,2],φ(2x)=
,3 1+2x
∵
≤φ(2x)≤3 3
,且1<3 5
<3 3
<2,3 5
∴φ(2x)∈(1,2)满足(1)的条件;
对任意的x1,x2∈[1,2],|φ(2x1)-φ(2x2)|
=|x1-x2|•
,2
+3 (1+2x1)2
+3 (1+2x1)(1+2x1) 3 (1+2x2)2
∵3<
+3 (1+2x1)2
+3 (1+2x1)(1+2x2)
,3 (1+2x2)2
所以0<
<2
+3 (1+2x1)2
+3 (1+2x1)(1+2x1) 3 (1+2x2)2
,2 3
令
=L,则0<L<1,2
+3 (1+2x1)2
+3 (1+2x1)(1+2x1) 3 (1+2x2)2
可得|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,满足(2)的条件
所以φ(x)∈A成立.…(8分)
(Ⅱ)反证法:
设存在两个x0、x0/∈(1,2)且x0≠x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),则
由(I)的结论,得|φ(2x0)-φ(2x0/)|≤L|x1-x2|,
得|x0-x0/|≤L|x1-x2|,所以L≥1,与定义0<L<1矛盾,故假设不成立,
可得不存在两个x0、x0/∈(1,2)且x0≠x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),
因此如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的.…(13分)