（1）证明：记F（x）=sinx-

2

2

x，则F′（x）=cosx-

2

2

．

当x∈（0，

π

4

）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，

π

4

]上是增函数；

当x∈（

π

4

，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[

π

4

，1]上是减函数；

又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥

2

2

x…3

记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，

即sinx≤x．

综上，

2

2

x≤sinx≤x…5

（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4

=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≤（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

2

4

x)2

=（a+2）x，

∴当a≤-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，…9

下面证明，当a＞-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．

∵当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4

=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≥（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

x

2

)2

=（a+2）x-x²-

x3

2

≥（a+2）x-

3

2

x²

=-

3

2

x[x-

2

3

（a+2）]．

所以存在x₀∈（0，1）（例如x₀取

a+2

3

和

1

2

中的较小值）满足

ax₀+x02+

x03

2

+2（x₀+2）cosx₀-4＞0，

即当a＞-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．

综上，实数a的取值范围是（-∞，-2]．