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问题 解答题
函数f(x)=
x
x+1
，数列{an}满足：an＞0，a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
2
an
+1，对任意正整数n，不等式
kn+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
-
kn
2+bn
≤0恒成立，求正数k的取值范围．
答案

（Ⅰ）∵f（x）=

x
x+1
，∴an+1=
an
an+1
，∴
1
an+1
-
1
an
=1

∴数列{

1
an
}是首项
1
a1
=1，公差d=1的等差数列，
1
an
=1+（n-1）=n

∴an=

1
n
．

（Ⅱ）由已知得k≤

(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3

设cn=

(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3

则

cn+1
cn
=
2n+4
2n+3
•
2n+5
＞1，所以数列{cn}递增，

∴cn的最小值为c1=

4
5
15
，

∴只需0＜k≤

4
5
15

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解答题

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