问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-
（1）求证f（x）为奇函数； （2）求证：f（x）为R上的减函数； （3）解关于x的不等式：
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答案
（1）由题意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0
再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以函数是奇函数
（2）令x1＜x2，则x2=x1+x2-x1，x2-x1＞0
所以f（x1）+f（x2-x1）=f（x2），
又x＞0时，f（x）＜0
所以f（x2-x1）＜0
所以f（x1）＞f（x2），即f（x）为R上的减函数
（3）不等式
f(2bx)-f(x)＞1 2
f(bx)-f(b)⇔f(bx)+f(b)＞f(1 2
bx)+f(x)⇔f(bx+b)＞f(1 2
bx+x)1 2
又f（x）为R上的减函数
所以bx+b＜
bx+x，整理得（b-2）x＜-2b，又b＞2，即b-2＞01 2
解得x＜
．-2b b-2
