问题
解答题
已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-ln（-x），（a＜0，a∈R）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时f（x）的最大值是-3，如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
答案
（I）设x∈（0，e]，则-x∈[-e，0）．
而f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[a（-x）-lnx]=ax+lnx．
∴f(x)=
．ax-ln(-x)，x∈[-e，0) ax+lnx，x∈(0，e]
（II）假设存在实数a，使得当x∈（0，e]时f（x）的最大值是-3．
f′(x)=a+
=1 x
，ax+1 x
（i）当-
≥e时，即-1 a
≤a＜0时．f（x）在（0，e]上是增函数，1 e
∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，解得a=
＜--4 e
，应舍去．1 e
（ii）当-
＜e时，即a＜-1 a
时．1 e
列表
由表格可知：f(-
)=-1+ln(-1 a
)=-3，得a=-e2．1 a
故存在实数a=-e2，使f（x）在（0，e]上取得最大值-3．