问题
选择题
设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-∞，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）
答案
设g（x）=f(x) x
则g（x）的导数为g′（x）=xf，(x)-f(x) x2
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）=
为减函数，f(x) x
又∵g（-x）=
=f(-x) -x
=g（x）f(x) x
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=
=0f(1) 1
∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x2•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故选D