已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2

问题解答题

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x+ln（x+1）-1．

（1）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）；

（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

答案

（1）设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，

所以f(-x)=2-x+ln(1-x)-1=

+ln(1-x)-1．（3分）

又f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），

于是f（x）=-f（-x）=-

-ln(1-x)+1．（5分）

故f(x)=

-ln(1-x)+1，(-1≤x＜0)

2x+ln(x+1)-1 (0≤x≤1).

（6分）

判断：f（x）在[-1，1]上是增函数；（8分）

（2）因奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，

所以f（2x-1）+f（1-x²）≥0⇔f（2x-1）≥f（x²-1）（10分）

⇔

2x-1≥x2-1

-1≤2x-1≤1

-1≤x2-1≤1

⇔

0≤x≤2

0≤x≤1

≤x≤

（14分）

解得0≤x≤1，所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}．（16分）