设双曲线y2a2-x23=1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（I）求双曲

问题解答题

设双曲线

=1的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2．
（I）求双曲线的渐近线方程；
（II）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，且

•

=0，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

答案

（I）∵e=

a2+3

|a|

∴a²=1

∴双曲线渐近线方程为y=±

（Ⅱ）假设过点N（1，0）能作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，

且

•

若过点N（1，0）的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．

设直线l方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

∴

y=k(x-1) ①

y2-

=1 ②

①代入②得：（3k²-1）x²-6k²x+3k²-3=0

∴

3k2-1≠0 ①

△＞0 ②

x1+x2=

6k2

3k2-1

③

x1•x2=

3k2-3

3k2-1

④

∵

•

∴y₁y₂+x₁x₂=0

∴（k²+1）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0

∴

k2+3

3k2-1

∴k²=-3不合题意．

∴不存在这样的直线．