问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的单调区间和值域; (2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围. |
答案
(1)对函数f(x)=
,x∈[0,1],求导,得4x2-7 2-x
f′(x)=
=--4x2+16x-7 (2-x)2
,(2x-1)(2x-7) (2-x)2
令f′(x)=0解得x=
或x=1 2
.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:7 2
所以,当x∈(0,
)时,f(x)是减函数;当x∈(1 2
,1)时,f(x)是增函数.1 2
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[-4,-3].
(II)对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<5(1-a2)≤0,
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],
又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),
则[1-2a-3a2,-2a]⊃[-4,-3],即
,1-2a-3a2≤-4① -2a≥-3②
解①式得a≥1或a≤-
,5 3
解②式得a≤
,3 2
又a≥1,故a的取值范围内是1≤a≤
.3 2