问题 解答题
已知函数f(x)=
4x2-7
2-x
,x∈[0,1],
(1)求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
答案

(1)对函数f(x)=

4x2-7
2-x
,x∈[0,1],求导,得

f′(x)=

-4x2+16x-7
(2-x)2
=-
(2x-1)(2x-7)
(2-x)2

令f′(x)=0解得x=

1
2
或x=
7
2
.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:

所以,当x∈(0,

1
2
)时,f(x)是减函数;当x∈(
1
2
,1)时,f(x)是增函数.

当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[-4,-3].

(II)对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2-a2).

因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<5(1-a2)≤0,

因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,

从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],

又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,

即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],

任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),

则[1-2a-3a2,-2a]⊃[-4,-3],即

1-2a-3a2≤-4①
-2a≥-3②

解①式得a≥1或a≤-

5
3

解②式得a≤

3
2

又a≥1,故a的取值范围内是1≤a≤

3
2

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