问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）求函数的解析式 （Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R+，求证：f(a)f(b)≥
（Ⅲ） 若g（x）=f（x）-x，n∈N*且n≥2，求证：
|
答案
（I）由函数f(x)=
（a＞0，c∈R）为奇函数，ax2+1 x+c
可得f（-x）=
=-f（x）=-ax2+1 -x+c ax2+1 x+c
∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴f(x)=ax2+1 x
再由x＞0时，f(x)=
≥ax2+1 x
=22
xa x
，a
∵f（x）的最小值为2，得2
=2，⇒a=1，a
故f(x)=
（x≠0）…（4分）x2+1 x
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证：(a+
)•(b+1 a
)≥1 b
．25 4
因为 a+b=1，即证：ab+
-2≥2 ab
，25 4
再由a+b=1，a、b∈R+，ab≤(
)2=a+b 2
，故0＜ab≤1 4
，1 4
令t=ab，考察函数y=t+
，它在区间（0，2 t
]上是单调减函数，当t=1 4
时，y=1 4
，33 8
∴ab+
-2≥2 ab
，25 4
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ）g(x)=
，需证：1 x
≤n-1 2n
+1 22
+1 32
+…+1 42
＜1 n2 n-1 n
一方面：
+1 22
+1 32
+…+1 42
＜1 n2
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4 1 (n-1)n =1-
+1 2
-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 4
-1 n-1
=1 n n-1 n
…（10分）
另一方面：
=1 22 1 2×2×(2-1)
=1 k2
＞1 k•k
(k＞3)1 k•2(k-1)
+1 22
+1 32
+…+1 42
≥1 n2
(1 2
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
)1 (n-1)n =
(1-1 2
+1 2
-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 4
-1 n-1
)=1 n n-1 2n
综上
≤n-1 2n
+1 22
+1 32
+…+1 42
＜1 n2
．n-1 n
…（14分）