（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（-x）=-f（x），即

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

⇒bx+c=bx-c，

∴c=0．

∵a＞0，b＞0，

∴当x＞0时，有f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

，

当且仅当x=

1 a

时等号成立，于是2

a b2

=2，∴a=b²，

由f（1）＜

5

2

得

a+1

b

＜

5

2

即

b2+1

b

＜

5

2

，

∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2，又b∈N，

∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+

1

x

．

（2）假设存在一点（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）图象上，

则

x02+1 x0 =y0 (2-x0)2+1 2-x0 =-y0

，

所以消去y₀得x₀²-2x₀-1=0，解得x₀=1±

2

．

∴y=f（x）图象上存在两点（1+

2

，2

2

），（1-

2

，-2

2

）关于（1，0）对称．