（I）证明：过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线方程为x=

a

2

则P(

a

2

，

a2

4

(b-

a

2

))，…（1分）

y'=3x²-（2a+2b）x+ab，…（2分）

所求切线斜率为3(

a

2

)2-(2a+2b)•

a

2

+ab=-

a2

4

，…（3分）

切线方程为y-

a2

4

(b-

a

2

)=-

a2

4

(x-

a

2

)，令y=0，解得x=b，

所以，函数y=f （x）过点P的切线过点（b，0）…（5分）

（II）因为a=b，所以y=f（x）=x（x-a）²，

y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-

a

3

)，…（6分）

当a＞0时，函数y=f(x)在(-∞，

a

3

)上单调递增，在（

a

3

，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增．

所以，根据题意有

即

4 27 a3＜2a2 a+1＜2a2

解之得1＜a＜

27

2

或a＜-

1

2

，结合a＞0，所以1＜a＜

27

2

…（9分）

当a＜0时，函数y=f(x)在(

a

3

，+∞)单调递增．                  …（10分）

所以，根据题意有f（1-a）＜2a²，…（11分）

即（1-a）（1-a-a）²＜2a²，整理得4a³-6a²+5a-1＞0，（*）

令g（a）=4a³-6a²+5a-1，∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0

∴g（a）在区间（-∞，0）单调递增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式无解．…（13分）

综上可知：1＜a＜

27

2

．                               …（15分）