问题
解答题
| （考生注意：本题请从以下甲乙两题中任选一题作答，若两题都答只以甲题计分） 甲：设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-Sn；数列{an} 为等差数列，且a5=9，a7=13． （Ⅰ）求数列 {bn} 的通项公式； （Ⅱ）若cn=anbn（n=1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn． 乙：定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值； （Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围． |
答案
甲：（Ⅰ）由bn=2-Sn，令n=1，则b1=2-S1，∴b1=1，…（1分）
当n≥2时，由bn=2-Sn，可得bn-bn-1=-（Sn-Sn-1）=-bn，…（3分）
∴bn=
bn-1，…（4分）1 2
∴数列{bn}是以1为首项，
为公比的等比数列1 2
∴bn=
．…（6分）1 2n-1
（Ⅱ）数列{an}为等差数列，公差d=
（a7-a5）=2，∴an=2n-1，…（8分）1 2
从而cn=anbn=（2n-1）•
，…（9分）1 2n-1
∴Tn=1+
+…+（2n-1）•3 2 1 2n-1
∴
Tn=1 2
+1 2
+…+（2n-3）•3 22
+（2n-1）•1 2n-1 1 2n
两式相减可得：
Tn=1+1 2
+2 2
+…+2 22
-（2n-1）•2 2n-1
=3-1 2n
…（11分）2n+3 2n
从而Tn=6-
．…（12分）2n+3 2n-1
乙：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，∴f（-x）=4x-a•2x
∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=a•2x-4x，x∈[0，1]，…（3分）
令t=2x，则t∈[1，2]，∴g（t）=at-t2=-（t-
）2+a 2 a2 4
∴当
≤1，即a≤2时，g（t）max=g（1）=a-1；a 2
当1＜
＜2，即2＜a＜4时，g（t）max=g（a 2
）=a 2
；a2 4
当
≥2，即a≥4时，g（t）max=g（2）=2a-4；．…（8分）a 2
（Ⅱ）因为函数f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f′（x）=2xln2（a-2•2x）≥0 …（10分）
∴a≥2•2x恒成立
∵x∈[0，1]
∴a≥4 …（12分）