设函数f(x)=x3-3ax2+3b2x (1)若a=1,b=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若0<a<b,不等式,f(
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(1)当a=1,b=0时,f(x)=x3-3x2 所以f(1)=-2 即切点为P(1,-2)
因为f′(x)=3x2-6x所以 f′(1)=3-6=-3,
所以切线方程为y+2=-3(x-1)即y=-3x+1,
(2)f′(x)=3x2-6ax+3b2,
由于0<a<b,所以△=36a2-36b2=36(a+b)(a-b)<0,
所以函数f(x)在R上单调递增
所以不等式f(
)>f(1-lnx x-1
)k x
⇔
>1-lnx x-1
⇔k x
>k,对x∈(1,+∞)恒成立,(1-lnx)x x-1
构造h(x)=
,h′(x)=(1-lnx)x x-1
=(2+lnx)(x-1)-(x+xlnx) (x-1)2 x-lnx-2 (x-1)2
构造g(x)=x-lnx-2,g′(x)=1-
=1 x
,x-1 x
对x∈(1,+∞),g′(x)=
>0 所以g(x)=x-lnx-2在x∈(1,+∞)递增,x-1 x
g(1)=-1,g(2)=-ln2,g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4>0,
所以∃x0∈(3,4),g(x2)=x0-lnx0-2=0,
所以x∈(1,x0),g(x)<0,h(x)<0,
所以,所以h(x)=
在(1,x2)递减(1+lnx)x x-1
x∈(x0,+∞),g(x)>0,h(x)>0,
所以h(x)=
在(x0,+∞)递增(1+lnx)x x-1
所以,h(x)min=h(x0)=
结合(1+lnx0)x0 x0-1
g(x0)=x0-lnx0-2=0得到,
h(x)min=h(x0)=
=x0∈(3,4)(1+lnx0)x0 x0-1
所以k<
对x∈(1,+∞)恒成立⇔k<h(x)min,(1+lnx)x x-1
所以k≤3,整数k的最大值为3;