问题 解答题
设函数f(x)=x3-3ax2+3b2x
(1)若a=1,b=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若0<a<b,不等式,f(
1+lnx
x-1
)>f(
k
x
)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值.
答案

(1)当a=1,b=0时,f(x)=x3-3x2 所以f(1)=-2 即切点为P(1,-2)

因为f′(x)=3x2-6x所以 f′(1)=3-6=-3,

所以切线方程为y+2=-3(x-1)即y=-3x+1,

(2)f′(x)=3x2-6ax+3b2

由于0<a<b,所以△=36a2-36b2=36(a+b)(a-b)<0,

所以函数f(x)在R上单调递增

所以不等式f(

1-lnx
x-1
)>f(
k
x

1-lnx
x-1
k
x
(1-lnx)x
x-1
>k,对x∈(1,+∞)恒成立,

构造h(x)=

(1-lnx)x
x-1
,h′(x)=
(2+lnx)(x-1)-(x+xlnx)
(x-1)2
=
x-lnx-2
(x-1)2

构造g(x)=x-lnx-2,g′(x)=1-

1
x
=
x-1
x

对x∈(1,+∞),g′(x)=

x-1
x
>0 所以g(x)=x-lnx-2在x∈(1,+∞)递增,

g(1)=-1,g(2)=-ln2,g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4>0,

所以∃x0∈(3,4),g(x2)=x0-lnx0-2=0,

所以x∈(1,x0),g(x)<0,h(x)<0,

所以,所以h(x)=

(1+lnx)x
x-1
在(1,x2)递减

x∈(x0,+∞),g(x)>0,h(x)>0,

所以h(x)=

(1+lnx)x
x-1
在(x0,+∞)递增

所以,h(x)min=h(x0)=

(1+lnx0)x0
x0-1
结合

g(x0)=x0-lnx0-2=0得到,

h(x)min=h(x0)=

(1+lnx0)x0
x0-1
=x0∈(3,4)

所以k<

(1+lnx)x
x-1
对x∈(1,+∞)恒成立⇔k<h(x)min

所以k≤3,整数k的最大值为3;

材料题
填空题