问题
解答题
数列{an}满足a1=1，an+1=（n2+n-λ）an（n=1，2，…），λ是常数。
（1）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（3）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n＞m时总有an＜0。
答案
解：（1）由于
且a1=1，
所以当a2=-1时，得
，
故
从而
（2）数列{an}不可能为等差数列
证明如下：由a1=1，
得
若存在
，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即
解得
=3
于是
这与{an}为等差数列矛盾，
所以，对任意
，{an}都不可能是等差数列。
（3）记
根据题意可知，b1＜0且
，即
＞2且
N*），
这时总存在
N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1时，bn＜0
所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则
，
从而当n＞n0时an＜0；
若n0为奇数，则
，
从而当n＞n0时an＞0
因此“存在m∈N*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：n0为偶数，
记n0=2k（k=1，2， …），则
满足
故λ的取值范围是
4k2+2k（k∈N*）。