（1）由题意得f'（x）=3ax²+2x+b

因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b

因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），

即对任意实数x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]

从而3a+1=0，b=0，

解得a=-

1

3

，b=0，因此f（x）的解析表达式为f(x)=-

1

3

x3+x2．

（2）由（Ⅰ）知g(x)=-

1

3

x3+2x，

所以g'（x）=-x²+2，令g'（x）=0

解得x1=-

2

，x2=

2

则当x＜-

2

或x＞

2

时，g'（x）＜0

从而g（x）在区间(-∞，-

2

]，[

2

，+∞)上是减函数，

当-

2

＜x＜

2

时，g′(x)＞0，

从而g（x）在区间[-

2

，

2

]上是增函数，

由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，

2

，2时取得，

而g(1)=

5

3

，g(

2

)=

4 2

3

，g(2)=

4

3

，

因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为g(

2

)=

4 2

3

，最小值为g(2)=

4

3

．