问题 解答题
对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)
有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)试求函数f(x)的表达式;
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1
,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求数列{an}的通项公式.
答案

(1)设f(x)=

x2+a
bx-c
=x⇒(1-b)x2+cx+a=0有两个不等实根0和2

⇒a=0且2b-c=2且b≠1

⇒f(x)=

x2
(1+
c
2
)x-c

由f(-2)<-

1
2
⇒-1<c<3

⇒c=2,b=2⇒f(x)=

x2
2x-2
(x≠1).

(2)由已知4Sn•f(

1
an
)=1,

可得2Sn=an-an2

当n≥2时,2Sn-1=an-1-an-12

两式相减得an=-an-1,或an-an-1=-1.

当n=1时,a1=-1,

由an=-an-1⇒a2=1不在定义域范围内应舍去,

故an-an-1=-1⇒an=-n.

单项选择题 B型题
问答题