问题 填空题
已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,Q为双曲线左准线上的点,且QF交双曲线于第一象限一点P,若O为坐标原点,且OP垂直平分FQ,则双曲线的离心率e=______.
答案

离心率 e=

c
a

左准线 x=

-a2
c
=-
a
e

右焦点 (c,0) Q(ae,0)

P 是FQ中点,所以 P 点横坐标

x=

1
2
(-
a
e
+ae)=
1
2
a(e-
1
e

代入到双曲线方程,考虑P在第一象限,得到纵坐标

y=b

x2
a2
-1
=
b
2
(e-
1
e
) 2-4

设 e-

1
e
=t

x=

at
2

y=

b
2
t2-4

PF斜率 k=

b
2
t2-4
at
2
-ae

OP 斜率

k'=

b
2
t2-4
at
2

PF 与 OP 垂直

k  k'=-1,(

b
a
2  (t2-4)=t(2e-t)

其中

b2
a2
=e2-1

把 t 表达式代回 

整理得e2+

1
e2
-6=1+
1
e2

求得e2=7

∴e=

7

故答案为:

7

单项选择题
多项选择题