问题
解答题
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式； （2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式； （3）若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，求实数a的取值范围． |
答案
（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
有f(-x)=
=2-x 4-x+1
，2x 4x+1
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x），
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-
，（4分）2x 4x+1
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=
（8分）-
，x∈(-1，0)2x 4x+1 0，x=0，±1
，x∈(0，1)2x 4x+1
（2）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1-1）=f（x）
所以，2是函数f（x）的一个周期（2分）
∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z，
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=
，（k∈Z）（6分）-
，x-2k∈(-1，0)2x 4x+1 0，x-2k=0，±1
，x-2k∈(0，1)2x 4x+1
f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式：
f（x）=
，（k∈Z）．-
，x∈(2k-1，2k)2x 4x+1 0，x=2k，2k±1
，x∈(2k，2k+1)2x 4x+1
（3）∵x∈（0，1）
设m=
=2x 4x+1
，（11分）1 2x+ 1 2x
2x∈（1，2），
∴2x+
∈(2，1 2x
)，5 2
当x=0，1时，m=0，
即当x∈[0，1]时，m∈(
，2 5
)∪{0}． （14分）1 2
∴当x∈[-1，1]时，|f（x）|∈(
，2 5
)∪{0}，1 2
若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，
则实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（0，
）∪（2 5
，+∞）．1 2