问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在(-∞，-
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答案
（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c，解得b=0．
由因为点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上，所以c=1，所以f（x）=x2+1
（2）g（x）=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．
F（x）=g（x）-λf（x）=x4+（2-λ）x2+（2-λ），F（x1）-F（x2）=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-λ）]
由题设当x1＜x2＜-
时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞2 2
+1 2
+2-λ=3-λ，1 2
则3-λ≥0，λ≤3；
当-
＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞2 2
+1 2
+2-λ=3-λ，1 2
则3-λ≥0，λ≥3故λ=3．