（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）

所以h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．

因此，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．

故当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2．

（2）∵xf（x）+3g′（x）+4=xlnx+3（x-2）+4=xlnx+3x-2，

∴当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4可化为

k＜

xlnx+3x-2

x-1

=

xlnx+x

x-1

+2，所以不等式转化为k＜

xlnx+x

x-1

+2对任意x＞1恒成立．

令p（x）=

xlnx+x

x-1

+2，则p′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0

所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，

所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4），

当1＜x＜x₀时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x₀时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．

所以函数p（x）=

xlnx+x

x-1

+2在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，又r（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，所以lnx₀=x₀-2．

所以[p(x)]min=p(x0)=

x0lnx0+x0

x0-1

+2=

x0(lnx0+1)

x0-1

+2=

x0(x0-2+1)

x0-1

+2=x₀+2∈（5，6），

所以k＜[p（x）]_min=x₀+2∈（5，6）

故整数k的最大值是5．