问题
解答题
已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数； （Ⅱ）求数列{f（xn）}的通项公式； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{f（xn）}，证明：
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答案
（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由x1=
，xn+1=1 2
易知0＜xn＜12xn 1+ x 2n
∵f（xn）-f（-xn）=f(
)且f（x）且f（x）在（-1，1）上为奇函数2xn 1+xn2
∴f（xn+1）=2f（xn），f（x1）=1
∴f（xn）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=2n-1
（3）
+f(x1)-1 f(x2)-1
+…+f(x2)-1 f(x3)-1
=f(xn)-1 f( xn+1)-1
+0 2-1
+…+2-1 22-1
＜2n-1-1 2n+1-1
+1 2
+…+1 2
=1 2 n 2