（1）求导函数可得f′（x）=2x-

a

x

∵函数f（x）在[

1

4

，1]上是减函数，∴对任意的x∈[

1

4

，1]，f′（x）≤0恒成立，所以a≥2x²，所以a≥2；

同理可得b≥1；

∵ab=2，∴a=2，b=1；

∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-

x

+2；

（2）∵f（1）=1＞0，g（

1

4

）=

7

4

＞0，且函数f（x）在[

1

4

，1]上是减函数，函数g（x）在[

1

4

，1]上是增函数．

∴x∈[

1

4

，1]时，f（x）＞0，g（x）＞0，∴m≤

f(x)

g(x)

，

∵(

f(x)

g(x)

)′＜0，∴

f(x)

g(x)

在[

1

4

，1]上是减函数，

∴m≤

f(1)

g(1)

=

1

2

；

（3）h（x）=f（x）+g（x）-

1

2

x=x²-2lnx+

1

2

x-

x

+2，则h′（x）=(

x

-1)[

2( x +1)(x+1)

x

+

x +1

2 x

]，当x＞0时，

2( x +1)(x+1)

x

+

x +1

2 x

＞0，∴当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0

∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增

∴x=1时，函数取得最小值h（1）=

5

2

；

证明：当n≥2时，h（n）≥h（2）=7-2ln2-

2

＞3，∴h（n）＞3，

∴n∈N^*，n≥2时f（n）+g（n）＞3+

n

2

＞3成立．