（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．…①（2分）

依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则

k²-2≠0，△=（2k）²-8（k²-2）＞0，

解得k的取值范围为-2＜k＜2．（4分）

（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由①得

x1+x2=

2k

2-k2

，x1•x2=

2

k2-2

．…②（6分）

假设存在实数k，使得以AF⊥BF得（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．                      （7分）

既（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．

整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．…③（8分）

把②式及c=

6

2

代入③式化简得5k2+2

6

k-6=0．

解得k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

（10分）

存在实数k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

，使得以AF⊥BF