问题 问答题

设A是m×n矩阵,对矩阵A作初等行变换得到矩阵B,证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.

答案

参考答案:因经初等行变换由A可得到B,故存在初等矩阵P1,P2,…,Ps使Ps…P2P1A=B.
对矩阵A,B按列分块,并记A=(α1,α2,…,αn), B=(β1,β2,…,βn),P=Ps…P2P1,则有P(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βn).
于是Pαii(i=1,2,…,n).
A的列向量[*]线性相关,

解析:评注 由于A的列向量中相应的列向量有相同的线线性相关性,这就为我们求向量组的秩与极大线性无关组提供了方法.
[*]

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判断题