参考答案：证法一 (用定义) 如果k₁α₁+…+k_i-1α_i-1+kβ+k_i+1α_i+1+…+k_sα_s=0，将已知条件β=l₁α₁+…+k_sα_s代入，并整理有
(k₁+kl₁)α₁+(k₂+kl₂)α₂+…+(k_i-1+kl_i-1)α_i-1 +kl_iα_i +(k_i+1+kl_i+1)α_i+1+…+(k_s+kl_s)α_s=0．
由于已知向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关，故必有
[*]
由于l_i≠0，kl_i=0知k=0，进而知必有 k₁=0，k₂=0，…，k_s=0．
所以向量组α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s线性无关．
证法二 (用秩) 由于α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s可用α₁，α₂，…，α_s线性表出，用矩阵表示有
(α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s)=α₁，α₂，…，α_s)C，
其中[*]
记A=(α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s)， B=(α₁，α₂，…，α_s)，即A=BC，因为l_i≠O，C是s阶可逆矩阵，故
r(A)=r(BC)=r(B)=r(α₁，…，α_s)=s．
所以向量组α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s线性无关．
证法三 (用等价向量组) 令(Ⅰ)α₁，α₂，…，α_s与(Ⅱ)α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s．
由于α₁，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s∈(Ⅰ)，且已知β=∑l_iα_i所以向量组(Ⅱ)可以由向量组(Ⅰ)线件表出．
又因l_i≠0，有[*]
即α_i可以由向量组(Ⅱ)线性表出，进而向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出．
因此，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)可以互相线性表出，它们有相同的秩，r(Ⅰ)=r(Ⅱ)．由于(Ⅰ)线性无关，r(Ⅰ)=s，故 r(Ⅱ)=r(α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s)=s．即向量组(Ⅱ)线性无关．

解析：[*]

评注二 若α₁，α₂，…α_s可以由β₁，β₂，…，β_t线性表出，则秩r(α₁，α₂，…，α_s)≤r(β₁，β₂，…，β_t)，那么，当向量组α₁，α₂，…，α_s与向量组β₁，β₂，…，β_t等价时，这两个向量组有相同的秩，要注意的是，两个等价的向量组由于向量的个数不一定相同，因而它们的线性相关性不一定相同．