在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M

问题解答题

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若

，

．
（1）求证：x与y的关系为y=

x+1

；
（2）设f(x)=

x+1

，定义函数F(x)=

f(x)

-1(0＜x≤1)，点列P_i（x_i，F（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{x_n}是以首项为1，公比为

的等比数列，O为原点，令

OP1

OP2

+…+

OPn

，是否存在点Q（1，m），使得

⊥

？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵

，

∴x=

1-y

，从而y=

1+x

．

（2）F(x)=

x+1

-1=

，

∴Pi(xi，

)，又xn=(

)n-1，

=2n-1，

∴

=(1+

2n-1

，1+2++2n-1)=(2-

2n-1

，2n-1)．

设

⊥

，则

•

=0．

∴2-

2n-1

+m(2n-1)=0，

∵n≥2，∴m=-

2n-1

，

故存在Q(1，-

2n-1

)满足条件．

（3）当x∈[0，1]时，G(x)=

x+1

，

又由条件得G（2-x）=G（x），

∴G（2+x）=G（-x）=G（x）．

当x∈[1，2]时，0≤2-x≤1，∴G(2-x)=

2-x

2-x+1

2-x

3-x

，

∵G（2-x）=G（x），

∴G(x)=

2-x

3-x

，从而G(x)=

x+1

(0≤x≤1)

2-x

3-x

(1≤x≤2)

．

由G（x+2）=G（x）得G(x)=

x-2k

x-2k+1

x∈[2k，2k+1]

x-2k-2

x-2k-3

x∈[2k+1，2k+2]

．

设y1=G(x)，y2=ax+

，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，

当函数y2=ax+

图象经过点（2k+2，0）时，a=-

4(k+1)

．

由图象可知，当a∈[-

4(k+1)

，0)时，y₁与y₂的图象在x∈[2k，2k+2]（k∈N）有两个不同交点，

因此方程G(x)=ax+

在x∈[2k，2k+2]上有两个不同的解．