问题
解答题
| 已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）． （1）求函数y=f（x）的表达式； （2）设g(x)=
|
答案
（1）由已知得f′(x)=
，∴f′(1)=1 x+1 1 2
又f（0）=-2∴ln1+m-2×
=-21 2
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得g(x)=
+a[ln(x+1)-2]1 x+1
定义域为（-1，+∞），
∴g′(x)=-
+1 (x+1)2
=a x+1
．ax+a-1 (x+1)2
∵a≠0
令g'（x）=0得x=
=-1+1-a a 1 a
①当a＞0时-1+
∈(-1，+∞)，且在区间(-1+1 a
，+∞)上g，（x）＞0，1 a
在区(-1，-1+
)上g′（x）＜0．1 a
∴g(x)在x=-1+
处取得极小值，也是最小值．1 a
∴g(x)=g(-1+
)=a-a(ln a+2)1 a
由a+a（-lna-2）＞0得a＜
．∴0＜a＜1 e
．1 e
②当a＜0时-1+
∉(-1，+∞)，1 a
在区间（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在区间（-1，+∞）上单调递减，没有最值
综上得，a的取值范围是0＜a＜
．1 e