问题
解答题
设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(
（1）求f（π）的值； （2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周期； （3）求函数f（x）解析式． |
答案
（1）令x=y=
，则由原式得：f（π）+f（0）=2f（π 2
）cosπ 2
=0π 2
∴f（π）=-f（0）=-3
证明：（2）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用
替换y，得f（x+π 2
（4））+f（x-π 2
（5））=2f（x）cosπ 2
（6）=0①π 2
∴f（x-
）=-f（x+π 2
）=-f[（x-π 2
）+π]π 2
由x-
的任意性知，对任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π）②π 2
∴f（x+2π）=f[（x+π）+π]=-f（x+π）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）为周期函数，且2π为其一个周期．
（3）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用
替换x，用x替换y，得：f（π 2
+x）+f（π 2
-x）=2f（π 2
）cosx=8cosxπ 2
由②知：f（
-x）=-f[（π 2
-x）-π]=-f[-（π 2
+x）]π 2
∴f（
+x）-f[-（π 2
+x）]=8cosxπ 2
用x替换
+x，得：f（x）-f（-x）=8cos（x-π 2
）=8sinx③π 2
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中取x=0，用x替换y，得：f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx④
从而可得，f（x）=4sinx+3cosx