（I）证明：f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

=a-

1

2x+1

，

设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，

因为x₁0，2x2+1＞0，

所以f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．

故不论a为何实数f（x）总是为增函数；

（II）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-（a-

1

2x+1

），

所以2a=

1

2-x+1

+

1

2x+1

=1，即a=

1

2

．

故当a=

1

2

时，f（x）为奇函数．

（Ⅲ）由（II）知，若f（x）为奇函数，a=

1

2

，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，

因为2^x＞0，所以0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，所以-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．

故f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）．