问题
解答题
已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1；
（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值．
答案
（1）联立方程组
，得(3-a2)x2-2ax-2=0．3x2-y2=1 y=ax+1
∵直线l与曲线C有两个交点P、Q，
∴
或a2-3=03-a2≠ 0 △=4a2-4(3-a2)×(-2)=0
∴
或a=±a2-3≠0 a2-6=0 3
∴a=±
或a=±3 6
（2）设点P、Q的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．
由（1）可知，
．x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2
∵以线段PQ为直径的圆经过原点，
∴
⊥OP
，即x1x2+y1y2=0． OQ
又y1=ax1+1，y2=ax2+1，
∴x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，
即(a2+1)•
+a•-2 3-a2
+1=0，解得a=±12a 3-a2
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．