（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x²-6x-9．

令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3．

列表讨论f（x），f′（x）的变化情况：

所以，f（x）的极大值是f（-1）=6，极小值是f（3）=-26．

（2）f′（x）=3x²-6ax-9a²的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．

若

1

4

＜a≤1，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，

从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，最大值是f′（4a）=15a²．

由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，于是有（1）=3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a．

由f′（1）≥-12a得-

1

3

≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤

4

5

.

所以a∈(

1

4

，1]∩[-

1

3

，1]∩[0，

4

5

]，即a∈(

1

4

，

4

5

]．

若a＞1，则∵|f′（a）|=15a²＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．

所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是(

1

4

，

4

5

].