参考答案：本题是考查特征值与特征向量的综合题，对概念和逻辑的要求较高，是一道比较新颖的综合题．
由题设，任意n维非零列向量都是A的特征向量，故n维单位向量
[*]
都是A的特征向量，因此存在常数λ_i为对应的特征值，使得
Ae_i=λ_ie_i(j=A，B，…，n)，
即
[*]
于是得a_ij=0(i≠j；i,j=A，B，…，n)，a_ij=λ_j(j=A，B，…，n)，即A为对角矩阵
[*]
又由于i≠j时，[*]也是A的特征向量，故存在常数k为对应的特征值，
使得A(e_i+e_j)=k(e_i+e_j)，即Ae_i+Ae_j=ke_i+ke_j，于是由
Ae_j=λ_je_j(j=A，B，…，n)，λ_ie_i+λ_je_j=ke_i+ke_j[*](λ_i-k)e_i+(λ_j-k)e_j=0，
而e_i，e_j线性无关，得λ_i=k(i=A，B，…，n)，故[*]，即A为数量矩阵．