问题
多项选择题
设A=(aij)n×n,若任意n维非零列向量都是A的特征向量,请证明:A为数量矩阵,即存在常数k,使A=kE.
答案
参考答案:本题是考查特征值与特征向量的综合题,对概念和逻辑的要求较高,是一道比较新颖的综合题.
由题设,任意n维非零列向量都是A的特征向量,故n维单位向量
[*]
都是A的特征向量,因此存在常数λi为对应的特征值,使得
Aei=λiei(j=A,B,…,n),
即
[*]
于是得aij=0(i≠j;i,j=A,B,…,n),aij=λj(j=A,B,…,n),即A为对角矩阵
[*]
又由于i≠j时,[*]也是A的特征向量,故存在常数k为对应的特征值,
使得A(ei+ej)=k(ei+ej),即Aei+Aej=kei+kej,于是由
Aej=λjej(j=A,B,…,n),λiei+λjej=kei+kej[*](λi-k)ei+(λj-k)ej=0,
而ei,ej线性无关,得λi=k(i=A,B,…,n),故[*],即A为数量矩阵.