设存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对一切θ∈[0，

π

2

]都成立，

∵奇函数f（x）的定义域为R，

∴f（0）=0，

∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）恒成立，

又∵f（x）在R上单调递增，

∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，

∴2cos²θ-4＞2mcosθ-4m，

∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．

设t=cosθ，由θ∈[0，

π

2

]可知t∈[0，1]，

∴f（t）=t²-mt+2m-2，（0≤t≤1）．

（1）当

m

2

≤0即m≤0时f（t）_min=f（0）=2m-2＞0，

∴m＞1（舍）  

（2）当

m

2

≥1即m≥2时f（t）_min=f（1）=m-1＞0，

∴m≥2；

（3）当0＜

m

2

＜1，即0＜m＜2时，f（t）_min=f（

m

2

）=-m²+8m-8＞0，

∴4-2

2

＜m＜4+2

2

，

∴4-2

2

＜m＜2．

综上所述，m＞4-2

2

．