已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）

问题解答题

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设F(x)=-

f(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，则当k 取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

答案

（Ⅰ）由题意，∵f（x）=ax²+a²x+2b-a³

又x∈（-2，6），f（x）＞0；x∈（-∞，-2）∪（6，+∞），f（x）＜0．

∴-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³=0的两根．

故

-2+6=-a

-2×6=

2b-a3

解得

a=-4

b=-8

此时，f（x）=-4x²+16x+48

（Ⅱ）∵F(x)=-

(-4x2+16x+48)+4(k+1)+2(6k-1)=kx2+4x-2

∴欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx²+4x-2＜0恒成立，则须要满足：

①当k=0时，原不等式化为4x-2＜0，显然不合题意，舍去．

②当k≠0时，要使二次不等式的解集为x∈R，则必须满足：

k＜0

△=42-4k×(-2)＜0

，解得k＜-2

综合①②得k的取值范围为（-∞，-2）．