问题
解答题
设p为常数，函数f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．
答案
（1）f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）=log2[（1-x）（1+x）p]，
∵f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）为奇函数，
∴f（-x）=log2[（1+x）（1-x）p]=-f（x）=log2
=log2[（1-x）-1（1+x）-p]，1 (1-x)(1+x )p
∴
，1+x=(1+x)-p (1-x)p=(1-x)-1
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=log2
，1-x 1+x
∵f（x）＞2，
∴
，1-x＞0 1+x＞0
＞41-x 1+x
解得-1＜x＜-
，3 5
∴f（x）＞2时x的取值范围是（-1，-
）．3 5
（3）∵f（x）=log2
，1-x 1+x
∴
＞0，解得-1＜x＜1．1-x 1+x
当-1＜x＜0时，
＞1，f（x）=log21-x 1+x
＞0，1-x 1+x
∴x•f（x）＜0；
当x=0时，
=1，f（x）=log21-x 1+x
=0，1-x 1+x
∴x•f（x）=0；
当0＜x＜1时，
＜1，f（x）=log21-x 1+x
＜0，1-x 1+x
∴x•f（x）＜0．
综上所述，x•f（x）≤0．