已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，P为

问题填空题

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆

=1的两个焦点，P为椭圆上一点且

PF1

•

PF2

=c2，则此椭圆离心率的取值范围是______．

答案

由椭圆的定义得：

PF₁+PF₂=2a

平方得：|PF₁|²+|PF₂|²+2PF₁PF₂=4a²．①

又∵

PF1

•

PF2

=c2，

∴|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=c²，②

由余弦定理得：

|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=F₁F₂²=4c²，③

由①②③得：cos∠F₁PF₂=

c 2

2a 2-3c 2

≤1⇒

c≤a⇒e≤

|PF₁|•|PF₂|=2a²-3c²，又|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

)2=a 2

∴2a²-3c²≤a²⇒a²≤3c²⇒e≥

则此椭圆离心率的取值范围是：[

，

]

故答案为：[

，

]．