问题
解答题
| 函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0． （1）求f（0）的值； （2）求f（x）的解析式； （3）当x∈(0，
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答案
（1）令x=1，y=0得f（1）-f（0）=（1+2×0+1）×1=2，
移向得出f（0）=f（1）-2=0-2=-2
∴f（0）=-2．…（4分）
（2）令y=0得f（x）-f（0）=（x+2×0+1）x=x（x+1），…（7分）
于是f（x）=x（x+1）+f（0）=x2+x-2．…（9分）
（3）令g（x）=f(x)+2=x2+x=(x+
)2-1 2
，…（11分）1 4
根据二次函数的性质，
g（x）=f(x)+2=(x+
)2-1 2
在区间(0， 1 4
)上是增函数，…（13分）1 2
∴g（x ）∈(g(0)， g(
))，即g(x)∈(0， 1 2
)．…（15分）3 4
∵当x∈(0，
)时，f（x）+2＜a恒成立，故a≥1 2
． …（16分）3 4