问题
解答题
已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）当a=-1时，求t的值；
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．
答案
（1）当a=-1时，f（x）=-（x-2）2+5
由于函数f（x）的最大值大于3，要使存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，所以t只能是-x2+4x+1=3的较小的根2-2
（2）由a＜0，f(x)=a(x+
)2+1-2 a 4 a
当 1-
＞3，即-2＜a＜0时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax2+4x+1=3的较小的根，即t=4 a
；
-22a+4 a
当 1-
≤3，即a≤-2时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax2+4x+1=-3的较大的根，即t=4 a
；-2
-21-a a
所以g(a)=
(-2＜a＜0)
-22a+4 a
(a≤-2)-2
-21-a a
（2）当-2＜a＜0时，t=
=
-22a+4 a
＜2
+22a+4
；1 2
当a≤-2时，t=
=-2
-21-a a
≤2
-11-a
=2
-13
+1；3
所以g（a）的最大值为
+1．3